Nyquist-Theorem (Nyquist-Shannon-Theorem, Abtasttheorem)

Was ist das Nyquist-Theorem?

Das Nyquist-Theorem ist der Grundsatz, dass die Mess- beziehungsweise Abtastrate einer reinen Sinuswelle mindestens das Doppelte ihrer Frequenz betragen muss, um sie genau zu reproduzieren. Das Nyquist-Theorem liegt allen Analog-Digital-Umwandlungen zugrunde und wird in der digitalen Audio- und Videotechnik verwendet, um Aliasing zu reduzieren. Das Nyquist-Theorem ist auch als Nyquist-Shannon-Theorem, Whittaker-Nyquist-Shannon-Abtasttheorem oder nur Abtasttheorem bekannt.

Das Nyquist-Theorem ist ein wichtiger Bestandteil der digitalen Kommunikation. Ein Großteil der menschlichen Erfahrung ist analoger Natur, wie zum Beispiel Schall- und Lichtwellen. Digitale Elektronik kann nur mit diskreten Zahlen arbeiten. Um eine analoge Welle in ein digitales Signal umzuwandeln, muss sie mit einer regelmäßigen Frequenz, der Abtastrate, gemessen werden. Ist die Abtastrate zu niedrig, gibt sie das ursprüngliche Signal nicht genau wieder und wird bei der Wiedergabe verzerrt oder weist Aliasing-Effekte auf. Ist die Abtastrate zu hoch, werden unnötigerweise zusätzliche Speicher- und Verarbeitungsressourcen verbraucht. Das Nyquist-Theorem hilft, den optimalen Punkt zu finden, bei dem alle notwendigen Informationen aufgezeichnet werden, aber keine zusätzlichen.

Wie das Nyquist-Theorem funktioniert

Analoge Signale haben eine Frequenz, das heißt wie oft sie in einer Sekunde auf und ab gehen. Diese Frequenz wird in Hertz gemessen. Claude Shannon erklärte das Theorem folgendermaßen: „Wenn eine Funktion x(t) keine Frequenzen enthält, die höher als B Hertz sind, wird sie vollständig bestimmt, indem man ihre Ordinaten an einer Reihe von Punkten angibt, die 1/(2B) Sekunden auseinander liegen.“ Um ein Signal genau wiederzugeben, muss die Abtastrate das Doppelte der höchsten Frequenz betragen.

Um dies zu verdeutlichen, stellen Sie sich einen Sensor auf der Erde vor, der die Himmelshelligkeit messen soll. Stellen Sie sich vor, er würde nur alle 24 Stunden eine Messung vornehmen. Wenn Sie die Ergebnisse später ablesen, würden Sie glauben, dass der Himmel den ganzen Tag über gleich hell ist – ein ungenaues Ergebnis. Was wäre, wenn alle 18 Stunden gemessen würde? Die Ergebnisse wären sehr verwirrend, da sie scheinbar willkürlich zwischen voller Helligkeit, völliger Dunkelheit und etwas schwächer schwanken würden.

Stellen Sie sich nun vor, der Sensor würde alle zwölf Stunden eine Messung vornehmen. Die Ergebnisse würden eine Periode des Lichts gefolgt von einer Periode der Dunkelheit zeigen; dies würde unseren 24-Stunden-Tag/Nacht-Zyklus auf der Erde genau beschreiben. Wie das Nyquist-Theorem zeigt, muss man, um die 24-Stunden-Periode der Erdrotation genau zu messen, mindestens zweimal, also alle 12 Stunden, eine Messung durchführen.

Das Nyquist-Theorem definiert die Mindestabtastrate für die höchste Frequenz, die Sie messen möchten. Die Nyquist-Rate beträgt das Zweifache der gegebenen Frequenz, um genau gemessen werden zu können. Das Theorem kann auch in umgekehrter Weise verwendet werden. Die Nyquist-Frequenz ist die höchste Frequenz, die ein Gerät mit einer gegebenen Abtastrate zuverlässig messen kann, also die Hälfte der gegebenen Abtastrate.

Das Nyquist-Theorem ist ein wichtiger Bestandteil der Informationstheorie. In der Funkkommunikation wird es zusammen mit dem Shannonschen Gesetz verwendet, um die Systembandbreite mit einem bestimmten Signal-Rausch-Verhältnis zu bestimmen.

Nyquist-Theorem und Aliasing

Aliasing ist eine unerwünschte Störung, die bei der Analog-Digital-Wandlung auftritt. Sie können sich als unerwünschte Frequenzen in einer Audioaufnahme oder als seltsame Muster in einem Bild zeigen. Bei der Analog-Digital-Wandlung gehen zwangsläufig einige Informationen verloren; daher können zwei unterschiedliche analoge Signale bei der Umwandlung in ein digitales Signal den gleichen Ausgang haben.

Wird das Nyquist-Theorem nicht beachtet, werden höherfrequente Informationen mit einer zu niedrigen Abtastrate aufgezeichnet, was zu Aliasing-Artefakten führt.

Verschiedene Techniken können Aliasing in einem reproduzierten Signal reduzieren.

Reine Sinussignale gibt es in der Natur nicht. Die meisten Signale haben extrem hochfrequente Komponenten wie Oberschwingungen und Resonanzen, die weit außerhalb der Nyquist-Frequenz jedes praktischen Analog-Digital-Erfassungsgeräts liegen. Um die Auswirkungen dieser Komponenten zu reduzieren, wird ein Tiefpassfilter eingesetzt, um alle störenden hohen Frequenzen zu entfernen, bevor das Signal abgetastet wird.

Analoge Tiefpassschaltungen haben kein perfektes Ansprechverhalten. Außerdem kann das Signal einige erwünschte Komponenten aufweisen, die etwas höher als die Zielfrequenz liegen. Daher ist es vorteilhaft, eine Abtastrate zu wählen, die etwas höher ist als die optimale Nyquist-Rate.

Das Nyquist-Theorem bei Audiosignalen

Das Nyquist-Theorem ist wichtig für die Erfassung von Audiosignalen mit digitalen Methoden. Das durchschnittliche menschliche Ohr ist nur für Frequenzen zwischen 20 Hz und 20 kHz empfindlich. Daher liegt nach dem Nyquist-Theorem die optimale Abtastrate für das menschliche Ohr bei 40 kHz. Aus diesem Grund liegen die Standardabtastraten für Musik- und Audioaufnahmen nahe an diesem Wert. Alle Werte über 40 kHz wären für die meisten Menschen nicht wahrnehmbar.

Die Standard-CD-Audiofrequenz von 44,1 kHz wurde gewählt, um die Nyquist-Frequenz zu erfüllen und gleichzeitig mit bestehenden Videogeräten kompatibel zu sein. Das Format Digital Audio Tape (DAT) liegt ebenfalls bei 48 kHz.

Telefone sind für die Übertragung der menschlichen Stimme optimiert. Die für die Verständlichkeit von Sprache erforderlichen Frequenzen liegen zwischen 300 und 3400 Hz. Daher wird die Abtastrate von 8 kHz für die reine Sprachkommunikation im Schmalbandbereich verwendet. Dies senkt die zu übertragende Datenmenge und ist eine gängige Abtastrate für Telefon- und VoIP-Systemcodecs wie G.771. Bei der Breitband-Sprachübertragung oder HD-Sprachübertragung werden 16 kHz verwendet, um die menschliche Stimme für klarere Anrufe besser zu erfassen.

Beide Frequenzen reichen nicht aus, um den gesamten Hörbereich abzudecken, so dass die meiste über Telefon- oder Konferenzsysteme wiedergegebene Musik verzerrt klingt. Viele Videokonferenzanwendungen bieten eine Option für eine qualitativ hochwertige Ton- oder Musikwiedergabe, die die höheren Abtastraten verwendet.

Beachten Sie, dass die Abtastrate, die in Hertz gemessen wird, sich von der Bittiefe, die in Bits gemessen wird, und der Bitrate, die in Bits pro Sekunde gemessen wird, unterscheidet.

Das Nyquist-Theorem in Bildern und Videos

Die Grundsätze des Nyquist-Theorems gelten auch für die digitale Fotografie und Videografie. Digitale Bildsensoren fangen Licht in diskreten Pixelstellen ein. Ein Sampling-Artefakt tritt auf, wenn das Kameraobjektiv die Details der Szene auf eine kleinere Ebene als die Pixelstellen reduziert. Dies wird als Moiré-Muster bezeichnet. Sie können diesen Effekt als ein seltsames Gesamtmuster in fein detaillierten Bereichen sehen, zum Beispiel bei einem Bild eines fein gestreiften Hemdes oder einer Fliegengittertür. Er kann auch in herunterskalierten Bildern auftreten.

Dieser Effekt kann mit verschiedenen Methoden bekämpft werden. Bei hochwertigen Digitalkameras kann ein physischer optischer Tiefpassfilter verwendet werden, um die feinen Details zu reduzieren und Aliasing aufzulösen. Bei handelsüblichen Kameras und Mobiltelefonen werden digitale Methoden in der Nachbearbeitung eingesetzt, um sie zu entfernen.