Natürliche Zahlen

Eine natürliche Zahl ist eine Zahl, die für gewöhnlich und offensichtlich natürlich vorkommt. Als solche ist es eine ganze, nicht-negative Zahl. Die Menge der natürlichen Zahlen, die mit N bezeichnet wird, kann auf zwei Arten definiert werden:

N = {0, 1, 2, 3, ...}

N = {1, 2, 3, 4, ...}

In mathematischen Gleichungen werden unbekannte oder nicht-spezifizierte natürliche Zahlen durch kleine, kursiv geschriebene Buchstaben aus der Mitte des Alphabets dargestellt. Am häufigsten ist n, gefolgt von m, p und q.

Bei Indizes wird manchmal das kleine i genutzt, um damit eine unspezifische natürliche Zahl darzustellen bei der die Elemente zu einer Sequenz oder einer Reihe gehören. Allerdings wird i häufiger für die positive Quadratwurzel von -1 verwendet, also der Einheit für eine imaginäre Zahl.

Egal, ob die die Menge N die Null enthält oder nicht, sie ist auf jeden Fall eine abzählbare Menge. Das heißt, die Zählbarkeit bezieht sich darauf, dass diese Elemente in einer Liste aufgeführt werden können, in der die Identität jedes Elements enthalten ist, obwohl es eine unendliche Anzahl von Elementen in dieser Menge geben kann. Intuitiv ordnet man 356.804.251 den natürlichen Zahlen zu, das heißt, man erkennt sie als Element der Liste {1, 2, 3, 4, ...} oder der Liste {0, 1, 2, 3, ...}, wogegen die Zahlen 356.804.251,5 und -23 als nicht dazu gehörend erkannt werden.

Beide oben definierte Zahlenmengen von natürlichen Zahlen sind abzählbar. Sie haben auch genau die gleiche Größe. Es ist auch nicht schwer, dieses zu beweisen, denn ihre Elemente können 1:1 gepaart werden ohne dass in einer der beiden Listen ein Element alleine steht.

In unendlichen Zahlenräumen ist die Existenz einer eins-zu-eins-Korrelation der Lackmustest zur Bestimmung der Mächtigkeit oder Größe. Die Menge ganzer Zahlen und die Menge aller rationalen Zahlen haben die gleiche Mächtigkeit wie N. Allerdings haben reale Zahlen, imaginäre Zahlen und komplexen Zahlen größere Mächtigkeit als die von N.