Extrapolation und Interpolation
Was ist Extrapolation und Interpolation?
Unter Extrapolation versteht man die Schätzung eines unbekannten Wertes auf der Grundlage der Erweiterung einer bekannten Folge von Werten oder Fakten. Extrapolieren bedeutet, aus vorhandenen Informationen auf etwas zu schließen, das nicht ausdrücklich angegeben ist. Unter Interpolation versteht man die Schätzung eines Wertes innerhalb zweier bekannter Werte, die innerhalb einer Wertefolge existieren.
Extrapolation und Interpolation durch Präfixe verstehen
Sowohl die Extrapolation als auch die Interpolation sind nützliche Methoden zur Bestimmung oder Schätzung hypothetischer Werte für eine unbekannte Variable auf der Grundlage der Beobachtung anderer Datenpunkte. Es kann jedoch schwierig sein, zwischen diesen Methoden zu unterscheiden und zu verstehen, wie sie sich voneinander unterscheiden.
Einer der einfachsten Wege, diese Unterschiede zu verstehen, besteht darin, die Vorsilbe der einzelnen Begriffe zu kennen. Extra- steht für zusätzlich zu, während inter- zwischen bedeutet. Extrapolation bedeutet also, dass ein Benutzer versucht, einen Wert zusätzlich zu bestehenden Werten zu finden, während Interpolation bedeutet, dass er einen neuen Wert zwischen bestehenden Werten ermitteln möchte.
| Interpolation | Extrapolation |
| Das Ablesen von Werten zwischen zwei Punkten in einem Datensatz. |
Schätzung eines Wertes, der außerhalb des Datensatzes liegt. |
| Wird in erster Linie verwendet, um fehlende Vergangenheitswerte zu ermitteln. |
Spielt eine wichtige Rolle bei Prognosen |
| Der geschätzte Datensatz ist mit größerer Wahrscheinlichkeit richtig. |
Bei den geschätzten Werten handelt es sich nur um Wahrscheinlichkeiten, so dass sie möglicherweise nicht ganz korrekt sind. |
Interpolation anhand eines Beispiels erklärt
Interpolation bedeutet, einen Wert aus den vorhandenen Werten eines gegebenen Datensatzes zu ermitteln. Eine andere Art der Beschreibung ist das Einfügen oder Einschieben eines Zwischenwertes zwischen zwei anderen Werten.
In der Datenwissenschaft oder Mathematik geht es bei der Interpolation darum, den Wert einer Funktion auf der Grundlage der Werte anderer Datenpunkte in einer bestimmten Sequenz zu berechnen. Diese Funktion kann als f(x) dargestellt werden, und die bekannten x-Werte können von x0 bis xn reichen.
Nehmen wir zum Beispiel an, wir haben eine Regressionsgerade y = 3x + 4. Wir wissen, dass der Wert von x zwischen 0 und 10 liegen muss, um diese Best-Fit-Linie zu erhalten. Angenommen, wir wählen x = 6. Auf der Grundlage dieser Best-Fit-Linie und Gleichung können wir den Wert von y wie folgt schätzen:
y = 3(6) + 4 = 22
Unser x-Wert (6) liegt innerhalb des Bereichs der akzeptablen x-Werte, die zur Erstellung der Best-Fit-Linie verwendet wurden, also ist dies ein gültiger y-Wert, den wir durch Interpolation berechnet haben.
Gängige Interpolationsmethoden
Drei der gängigsten Interpolationsmethoden sind:
- lineare Interpolation
- Polynominterpolation
- Spline-Interpolation
Lineare Interpolation
Die lineare Interpolation ist eine der einfachsten Interpolationsmethoden. Dabei wird eine gerade Linie zwischen zwei Punkten auf einem Diagramm gezogen, um die anderen unbekannten Werte zu bestimmen. Die einfache Methode führt häufig zu ungenauen Schätzungen.
Polynominterpolation
Bei der polynomialen Interpolation werden Polynomfunktionen in einem Diagramm verwendet, um die fehlenden Werte in einem Datensatz zu schätzen. Dies ist eine präzisere und genauere Methode. Der Graph des Polynoms füllt die Kurve zwischen bekannten Punkten aus, um Daten zwischen diesen Punkten zu finden.
Es gibt mehrere Methoden der Polynominterpolation:
- Lagrange-Interpolation
- Newton-Polynom-Interpolation
- Spline-Interpolation
Die Newton-Methode ist auch bekannt als Newtons geteiltes Differenzen-Interpolationspolynom. Die Lagrange- und die Newton-Interpolationsmethode ergeben die kleinste Polynomfunktion, das heißt das Polynom mit dem kleinstmöglichen Grad, das durch die Datenpunkte im Datensatz geht. Beide Methoden liefern das gleiche Ergebnis, verwenden aber unterschiedliche Berechnungen, um zu dem Ergebnis zu gelangen.
Spline-Interpolation
Bei der Spline-Interpolation werden stückweise Funktionen verwendet, um die fehlenden Werte zu schätzen und die Lücken in einem Datensatz zu füllen. Anstatt ein Polynom für den gesamten Datensatz zu schätzen, wie es bei den Lagrange- und Newton-Methoden der Fall ist, definiert die Spline-Interpolation mehrere einfachere Polynome für Teilmengen der Daten. Aus diesem Grund liefert sie in der Regel genauere Ergebnisse und gilt als zuverlässigere Methode.
Extrapolation anhand eines Beispiels erklärt
Bei der Extrapolation geht es um die Vorhersage von hypothetischen Werten, die außerhalb eines bestimmten Datensatzes liegen. Die Vorhersagequalität der Extrapolation bedeutet, dass die Methode in der Regel zur Vorhersage unbekannter zukünftiger Werte verwendet wird, im Gegensatz zur Interpolation, bei der es normalerweise um die Schätzung vergangener Werte geht.
Nehmen wir zum Beispiel an, ein Datensatz besteht aus vier vorgegebenen Werten: 1, 3, 5 und 7. Würde man diese Werte in ein Diagramm eintragen und davon ausgehen, dass sich die Linie in der gleichen Weise fortsetzt, könnte der fünfte Wert als 9 extrapoliert werden.
Bei dieser Methode ist der letzte Wert nicht mit Sicherheit bekannt. Es ist jedoch möglich, ihn auf der Grundlage der bereits bekannten Kurvenverläufe und der Art der Abfolge der bekannten Werte mit einem gewissen Grad an Sicherheit zu schätzen.
Gängige Extrapolationsmethoden
Drei der gängigsten Extrapolationsmethoden sind die folgenden:
- lineare Extrapolation
- polynomiale Extrapolation
- konische Extrapolation
Ähnlich wie bei der linearen Interpolation wird bei der linearen Extrapolation eine lineare Funktion verwendet und eine gerade Linie gezogen, um Werte außerhalb eines Datensatzes vorherzusagen.
Bei der polynomialen Extrapolationsmethode werden die Werte in einem Diagramm mit polynomialen Formen und Funktionen bestimmt.
Bei der konischen Extrapolation werden unbekannte Werte mithilfe von Kegelschnitten mit bekannten Daten bestimmt.
Anwendung von Extrapolation und Interpolation
Die Interpolation liefert oft eine gültige Schätzung eines unbekannten Wertes, weshalb sie als zuverlässigere Schätzmethode als die Extrapolation gilt. Beide Methoden sind für unterschiedliche Zwecke nützlich.
Die Interpolation ist besonders nützlich, um fehlende oder verlorene Datensätze aus der Vergangenheit zu schätzen, um die Datensätze für ein Projekt oder einen Anwendungsfall zu vervollständigen. Die Extrapolation wird verwendet, um Vorhersagen über ein Ereignis oder einen Vorfall auf der Grundlage einer Reihe bekannter oder vergangener Werte zu treffen.
In der realen Welt werden Interpolation und Extrapolation in vielen Bereichen eingesetzt, unter anderem:
- in der Mathematik zur Ableitung von Funktionswerten, um unbekannte Werte zur Lösung von Problemen der realen Welt zu bestimmen
- in der Wissenschaft zur Erstellung von Wettervorhersagemodellen, zur Vorhersage von Niederschlägen oder zur Vorhersage unbekannter chemischer Konzentrationswerte
- in der Statistik zur Vorhersage künftiger Daten, zum Beispiel des Bevölkerungswachstums oder der Ausbreitung einer Krankheit
